Modelleisenbahnclub Castrop-Rauxel 1987 e.V.

Grundlagen 21: Zahlen & Zählen
Seite 2: andere Zahlensysteme

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Bisher hatten Sie nicht viel Neues erfahren. Aber die bisherigen Beschreibungen kann man auch sehr gut auf andere Zahlensysteme anwenden:
Im Computer-Zeitalter wurde das Binär-System wichtig, da eine Elektronik gut und sicher nur 2 Zustände erfassen kann: Strom/kein Strom, ja/nein, richtig/falsch usw. Will man mit solchen Eigenheiten zählen oder rechnen, ergibt sich automatisch ein System, das nur die Werte 0 oder 1 haben kann, also ein Zweier- oder Binär-System; wieder als Stellenwert-System. Eine Ziffer an der 2. Stelle von rechts hätte also (wenn wir das auf der vorigen Seite Geschriebene anwenden) die Wertigkeit "2", an der 3. Stelle die Wertigkeit "2²" (also 4), die nächste dann "2³" (also 8) usw.
Eine dezimale 9 wird demnach zu einer binären 1001 (= 1×2³ + 0×2² + 0×2 + 1 = 8 + 0 + 0 + 1). Sie sehen, die Schreibweise ist recht unglücklich, da die geschriebenen Zahlen schnell eine riesig große Ziffernmenge enthalten; groß bedeutet dann aber auch unübersichtlich.
Daher hat man das Hexadezimal-Zahlensystem (das, dem Namen nach, bis 16 zählen kann) erfunden. Dies tut nichts weiter als jeweils 4 Binärziffern zusammenzufassen; wirklich nur das . Und das hilft dem Menschen bei der Übersichtlichkeit ganz effektiv weiter, weil die Anzahl der "Ziffern" des Binärsystems auf ein Viertel verringert wird.
Beispiel: eine dezimale 15 lautet, binär geschrieben, 1111; eine 16 also 10000. Dies ist mit den bisherigen Erkenntnissen leicht nachzuvollziehen. Fasst man nun jeweils 4 (Binär-) Stellen zusammen, so teilt man die 10000 auf in 1|0000; es entsteht so eine (hexadezimale) 10.
Eine Stelle dieses Systems kann also 16 verschiedene Werte (von 0 bis 15) annehmen. Zur Darstellung reicht der bekannte dezimale Bereich (von 0 bis 9) natürlich nicht aus. Daher ist man zu folgender Regelung gekommen:
Die fehlenden Werte (10 bis 15) werden durch Buchstaben (a bis f) bezeichnet. Dabei ist es egal, ob diese Zeichen groß oder klein geschrieben werden.
Wir zählen also: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f (also hier bis dezimal 15),
und dann weiter: 10, 11, 12 ... (was dann dezimal 16, 17, 18 wären).
Eine dezimale 15 wird also zur hexadezimalen f, eine dezimale 16 wird zur hex-10.
Die Wertigkeiten der Ziffern betragen also für die zweite Stelle "16", für die dritte "16²" (also: 256) usw.
Wenn ich also im Hex-System meine Streichhölzer zähle, dann erzeuge ich immer, ähnlich wie oben beschrieben, Häufchen mit 16 Elementen anstelle von jeweils 10.
Die Hex-Zahl "affe" wird also zur dezimalen 10×16³ + 15×16² + 15×16¹ + 14×16⁰ = 40960 + 3840 + 240 + 14 = 45054.

Als Letztes ein Systemvergleich:
2025 (dezimal) ist dasselbe wie
11111101001 (binär).
Die binäre 111|1110|1001, in Gruppen aufgeteilt, wird zur 7e9 (hex).

Für weitere Fragen stehen gern zur Verfügung:
- der MEC; Besichtigung und Fachsimpelei z.B. an unseren "Club-Abenden"
- der Autor: Hans Peter Kastner