Modelleisenbahnclub Castrop-Rauxel 1987 e.V.

Grundlagen 21: Zahlen & Zählen
Seite 1: was wir alle wissen

zur Seite 2: andere Zahlensysteme

In diesem Beitrag soll es darum gehen, wie wir Menschen zählen, und wie wir die (Zähl-)Ergebnisse so aufschreiben, dass auch andere sie lesen und verstehen können.
Das erste Kapitel befasst sich nur mit unserem bekannten Dezimalsystem, und wie damit gezählt wird. Dies empfinden Sie sicherlich als Selbstverständlichkeit und nicht der Rede wert; aber wir werden in den folgenden Kapiteln immer wieder auf die hier beschriebenen Eigenarten verweisen.

Unser Zahlen-System: Das Dezimal-System
Wie der Name "dezimal" schon sagt: es ist ein Zehner-System. Wir benutzen beim Zählen genau zehn verschiedene Ziffern, von 0 bis 9. Wenn wir weiter als 9 zählen wollen, setzen wir, als Übertrag, eine 1 vor unsere Zähl-Ziffern und beginnen wieder von vorn mit 0. Wir schreiben also eine 10. Die Ziffer "1" hat in dieser Schreibweise nicht mehr den Wert "1", sondern den Wert "10"; und dies nur, weil sie in der 2. Position, von rechts aus gesehen, steht. Unser Dezimal-System wird somit auch als Stellenwert-System bezeichnet, weil eine Ziffer nur durch ihre Position in der Zahl andere Wertigkeiten bekommt.
Dass dies auch anders geht, können wir bei den "alten Römern" und auch den Griechen zu der damaligen Zeit erfahren.
Wenn wir (von 10 aus) nun weiter zählen, kommen wir nach der 19 wieder zu einem Übertrag, und die 1 an der Zehnerstelle wird weitergezählt. Wir bekommen also als Zahl eine 20. Dies geht weiter bis zur 99. Beim Weiterzählen wird die rechte 9 wieder zur 0, wobei, wie bisher auch, ein Übertrag auf die Stelle der linken 9 erfolgt. Da hier aber schon eine 9 steht, wird auch hier eine 0 erzeugt und ein Übertrag auf die nächst-höhere Stelle. Wir erhalten somit eine 100. Die hier enthaltene "1" steht an der 3. Stelle von rechts und hat (durch ihre Position bedingt) den Wert von 10².
Genau so wie hier beschrieben funktionieren alle Zähler, mechanische, elektronische und Software-Zähler.
Um diese doch recht abstrakt beschriebenen Gesetzmäßigkeiten etwas anschaulicher zu beschreiben, denken wir uns aus, wir würden eine Menge Streichhölzer zählen. Wir nehmen sie von einem großen Haufen und bilden einen neuen Haufen, aber nur bis wir dort 10 Streichhölzer abgelegt haben. Dann bilden wir einen weitereren Ablage-Haufen, den auch wieder nur bis 10 usw.
Wenn wir z.B. am Ende des Zählens 7 Häufchen haben und 3 Streichhölzer bleiben übrig, so waren es insgesamt 73 Stück. Die "7" an der 2. Stelle von rechts beziffert also die Anzahl der Häufchen und hat also den Wert 7 × 10.

Wie oben schon geschrieben: das sind alles für uns Selbstverständlichkeiten über die wir nicht weiter nachdenken; aber nur weil wir sie seit der Kindheit kennen.
Wenn es aber um andere Zahlensysteme geht, dann kann dies doch helfen, "Eselsbrücken" zum Verständnis zu schlagen.

die "alten" Römer (und Griechen)
Sie besaßen keine besonderen Ziffern-Zeichen. Sie benutzten große Buchstaben, um Zahlen darzustellen. Dabei wurde eine Eins mit "I" bezeichnet, eine Fünf mit "V", eine Zehn mit "X", eine Fünfzig mit "L" usw.
Die Griechen nahmen ebenfalls ihr Alphabet zu Hilfe, aber in einer völlig anderen Art und Weise:
eine Eins wurde dort mit α (alpha) bezeichnet, eine Zwei mit β (beta) usw. bis Neun = θ (theta),
dann aber die Zehn mit ι (iota), Zwanzig mit κ (kappa), Dreißig mit λ (lambda) usw.

Hierbei fällt auf, dass nur bestimmte römische Zahlenwerte ihr eigenes Zeichen hatten, und zwar alle Einser- und Fünfer-Werte. Andere Zahlen-Werte wurden durch Nebeneinander-Schreiben der Zeichen erreicht. Alle Zeichen wurden grundsätzlich addiert, mit einer Ausnahme: stand ein kleiner-wertiges Zeichen vor einem höherwertigen, wurde es subtrahiert. So schrieben die Römer die Zahl 2024 als MMXXIV, also 1000 + 1000 + 10 + 10 + (- 1 + 5).
Beim Rechnen wird es arge Probleme gegeben haben: 98 + 36 = 134 oder XCVIII + XXXVI = CXXXIV.
Um solche Problematik zu umgehen, wurden Rechenbretter benutzt. Das sind flach liegende Tafeln mit Linien, die die Wertigkeit (1, 5, 10, 50 usw.) von darauf liegenden Steinen darstellten.
Die Griechen hatten eine Art Dezimalsystem, ähnlich wie wir heute. Sie hatten auch für jede Ziffer ein eigenes Zeichen, jedoch für die Zehner- und Hunderter-Zeichen jeweils einen zusätzlichen Satz. Heißt: für die Darstellung der Zahlen von 1 bis 999 brauchten sie 3 × 10 verschiedene Zeichen. Eine dezimale '11' hätten sie als ια geschrieben werden, eine '22' als κβ. Interessant dabei ist, dass z.B. das ι den Wert '10' hatte, aber auch an der Zehnerstelle (genau wie bei uns heute) stand, also aus unserer Sicht irgendwie "doppelt gemoppelt". Die auch denkbare Schreibweise αι wäre zwar auch möglich gewesen, wurde aber nicht benutzt.

Wie zählen wir?
Wir zählen (z.B. Streichhölzer), indem wir Gegenstände von einem Haufen auf einen zweiten verschieben und dabei in Gedanken (oder auch laut) die bekannten Zahlen aufsagen und beim letzten Gegenstand die letzte gedachte Zahl laut sagen oder aufschreiben.
Dies geht nur so lange gut, wie man ungestört zählen kann, und die zu zählenden Gegenstände körperlich vorhanden sind. Und - eine Kontrolle (ob es richtig war) ist nicht möglich: es hilft nur, noch einmal zu zählen und, bei auftretender Unstimmigkeit, noch ein drittes Mal.
Um dies zu umgehen (z.B. beim Bierchen-Trinken), wurde eine Strichliste ersonnen, bei der jeder 5. Strich quer über die bisherigen 4 Striche gelegt wurde. So entstehen 5er-Päckchen, die zum Schluss leichter zu zählen sind. So ähnlich wurde auch auf den römischen Rechenbrettern verfahren: Fünf Einer ergaben einen Fünfer, und 2 Fünfer ergaben einen Zehner, usw. Diese wurden durch ihre Position auf dem Rechenbrett dargestellt.
Das heißt: die Römer rechneten mit einem bi-quinär-System (also 2×5), stellten ihre Zahlen aber mittels definierter Werte dar.
Wenn man nun beim Zählen großer Mengen die Gegenstände nicht auf einem Haufen ablegt (wie oben beschrieben), sondern sie zu je zehn in einzelnen Häufchen ablegt, so kann man diese zum Schluss einzeln zählen und kommt so zu einem sichereren Ergebnis.
Das heißt aber für unser Zahlen-Stellenwert-System, dass die Ziffer an der Zehner-Stelle die Anzahl der gerade gezählten Zehnerpäckchen beschreibt.
Die Ziffern an der zweiten Stelle von rechts haben demnach die Wertigkeit "10-fach", an der dritten Stelle die Wertigkeit "10²-fach", also 100-fach usw.

Für weitere Fragen stehen gern zur Verfügung:
- der MEC; Besichtigung und Fachsimpelei z.B. an unseren "Club-Abenden"
- der Autor: Hans Peter Kastner